Die binomischen Formeln – Übungen, Aufgaben, Erklärung
Im Folgenden werden wir die drei binomischen Formeln mit Beispielen darstellen. Rhetorische Figuren
1. ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
Hierzu ein Beispiel, welches sich leicht nachrechnen lässt:
( 3 + 4 ) ^ 2 = 3 ^ 2 + 2 x 3 x 4 + 4 ^ 2
7 ^ 2 = 9 + 24 + 16
49 = 49
Die zweite Binomische Formel
Nun zur zweiten Binomischen Formel, auch Minus-Formel genannt:
2. ( a – b ) ^ 2 = a ^ 2 – 2ab + b ^ 2
Auch hier wieder ein Beispiel:
( 5 – 2 ) ^ 2 = 5 ^ 2 – 2 x 5 x 2 + 2 ^ 2
3 ^ 2 = 25 – 20 + 4
9 = 9
Die dritte Binomische Formel
Die dritte Binomische Formel, auch Plus-Minus-Formel genannt sieht Folgendermaßen aus:
3. ( a – b ) x ( a + b ) = a ^ 2 – b ^ 2
Dies wollen wir wiederum an einem Beispiel demonstrieren:
( 8 – 5 ) x ( 8 + 5 ) = 8 ^ 2 – 5 ^ 2
3 x 13 = 64 – 25
39 = 39
Die Herleitungen sind für diejenigen Schüler interessant, die sich fragen, wie man nun eigentlich auf diese Formeln kommt. Zum Einsetzen der Binomischen Formeln als reines Handwerkszeug werden diese nicht benötigt. Die Herleitung der ersten beiden Binomischen Formeln geht einfach durch das Ausmultiplizieren der Klammerterme und anschließendes Zusammenfassen vonstatten. Die Herleitung der dritten Binomischen Formel erfolgt auf dem gleichen Wege.
1. ( a + b ) ^ 2 = ( a + b ) x ( a + b ) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
2. ( a – b ) ^ 2 = ( a – b ) x ( a – b ) = a ^ 2 – ab -ba + b ^ 2 = a ^ 2 – 2ab + b ^ 2
3. ( a + b ) x ( a – b ) = a ^ 2 – ab + ba – b ^2 = a ^ 2 – b ^ 2
98 ^ 2 = ( 100 – 2 ) ^ 2 = 100 ^ 2 – 2 x 100 x 2 + 2 ^ 2 = 9604