Die binomischen Formeln – Übungen, Aufgaben, Erklärung
Mit den drei Binomischen Formeln wird zum einen das Ausmultiplizieren von Klammertermen, zum anderen das Faktorisieren bestimmter Summen erheblich erleichtert. Viele Probleme in der Algebra sind dank der Binomischen Formeln einfach zu lösen. Auch wenn es dem Schüler anfangs mühsam erscheinen mag, die Formeln zu verinnerlichen, so wird er doch später erhebliche Arbeitserleichterungen erfahren. Zum Verständnis der Binomischen Formeln sollte der Umgang mit Klammertermen kein Problem darstellen. Die Binomischen Formeln wurden nicht, wie gerne behauptet, von einem Herrn Binomi entwickelt, der Name leitet sich einfach aus dem lateinischen ab: bi bedeutet übersetzt zwei; nomen Name.
Im Folgenden werden wir die drei binomischen Formeln mit Beispielen darstellen. Rhetorische Figuren
Im Folgenden werden wir die drei binomischen Formeln mit Beispielen darstellen. Rhetorische Figuren
Zunächst zur ersten Binomischen Formel, der Plus-Formel.
1. ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
Hierzu ein Beispiel, welches sich leicht nachrechnen lässt:
( 3 + 4 ) ^ 2 = 3 ^ 2 + 2 x 3 x 4 + 4 ^ 2
7 ^ 2 = 9 + 24 + 16
49 = 49
Die zweite Binomische Formel
Nun zur zweiten Binomischen Formel, auch Minus-Formel genannt:
2. ( a – b ) ^ 2 = a ^ 2 – 2ab + b ^ 2
Auch hier wieder ein Beispiel:
( 5 – 2 ) ^ 2 = 5 ^ 2 – 2 x 5 x 2 + 2 ^ 2
3 ^ 2 = 25 – 20 + 4
9 = 9
Die dritte Binomische Formel
Die dritte Binomische Formel, auch Plus-Minus-Formel genannt sieht Folgendermaßen aus:
3. ( a – b ) x ( a + b ) = a ^ 2 – b ^ 2
Dies wollen wir wiederum an einem Beispiel demonstrieren:
( 8 – 5 ) x ( 8 + 5 ) = 8 ^ 2 – 5 ^ 2
3 x 13 = 64 – 25
39 = 39
Bei allen Binomischen Formeln sind a und b beliebige reelle Zahlen.
Die Herleitungen sind für diejenigen Schüler interessant, die sich fragen, wie man nun eigentlich auf diese Formeln kommt. Zum Einsetzen der Binomischen Formeln als reines Handwerkszeug werden diese nicht benötigt. Die Herleitung der ersten beiden Binomischen Formeln geht einfach durch das Ausmultiplizieren der Klammerterme und anschließendes Zusammenfassen vonstatten. Die Herleitung der dritten Binomischen Formel erfolgt auf dem gleichen Wege.
Die Herleitungen sind für diejenigen Schüler interessant, die sich fragen, wie man nun eigentlich auf diese Formeln kommt. Zum Einsetzen der Binomischen Formeln als reines Handwerkszeug werden diese nicht benötigt. Die Herleitung der ersten beiden Binomischen Formeln geht einfach durch das Ausmultiplizieren der Klammerterme und anschließendes Zusammenfassen vonstatten. Die Herleitung der dritten Binomischen Formel erfolgt auf dem gleichen Wege.
Hier die Herleitungen:
1. ( a + b ) ^ 2 = ( a + b ) x ( a + b ) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
2. ( a – b ) ^ 2 = ( a – b ) x ( a – b ) = a ^ 2 – ab -ba + b ^ 2 = a ^ 2 – 2ab + b ^ 2
3. ( a + b ) x ( a – b ) = a ^ 2 – ab + ba – b ^2 = a ^ 2 – b ^ 2
1. ( a + b ) ^ 2 = ( a + b ) x ( a + b ) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
2. ( a – b ) ^ 2 = ( a – b ) x ( a – b ) = a ^ 2 – ab -ba + b ^ 2 = a ^ 2 – 2ab + b ^ 2
3. ( a + b ) x ( a – b ) = a ^ 2 – ab + ba – b ^2 = a ^ 2 – b ^ 2
Nun noch ein Beispiel zur Anwendung der Binomischen Formeln: das Berechnen von Quadratzahlen:
98 ^ 2 = ( 100 – 2 ) ^ 2 = 100 ^ 2 – 2 x 100 x 2 + 2 ^ 2 = 9604
98 ^ 2 = ( 100 – 2 ) ^ 2 = 100 ^ 2 – 2 x 100 x 2 + 2 ^ 2 = 9604
Ohne Binomische Formeln hätten wir das wohl nicht so schnell gelöst!
Um das gelernte nun auch selbst anzuwenden und zu üben gibtes einige Übungsaufgaben mit Lösung für euch.